Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

14. Аксиома об изменении кинетической энергии механической системы [1,2,4,5]

Изменение кинетической энергии системы при неком ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе наружных и внутренних сил:

; (14.1)

это уравнение выражает аксиому об изменении кинетической энергии в интегральной форме.

Производная по времени от кинетической энергии механической системы системы равно сумме мощностей Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы от наружных и внутренних нагрузок.

; (14.2)

равенство (14.2) выражает аксиому об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Если в задачке требуется найти линейную либо угловую скорость то пользуются аксиомой об изменении кинетической энергии в интегральной форме. А если требуется найти линейное либо угловое ускорение тогда для решения задачки Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы используют аксиому об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Определение кинетическая энергия находится в зависимости от вида движения, которое совершает тело, входящее в механическую систему, потому различают три вида:

1) Поступательное движение,

(14.3)

где m - масса тела, V – скорость центра тяжести

2) Вращательное движение,

(14.4)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения .

Для круглого Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы сечения :

, если задаётся радиус тела , если задан радиус инерции тела , m – масса тела.

3) Плоскопараллельное движение,

+ , (14.4)

где - скорость центра тяжести тела, - момент инерции относительно оси Z, проходящий через центр тяжести С.

Разглядим определение работы от наружных нагрузок:

1. Работа от силы тяжести :

,

где m – масса тела, g-ускорение свободного падения, h Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы-вертикальное перемещение центра тяжести (либо центра масс).

Работа считается положительной если направление движения совпадает с направлением силы тяжести либо её составляющей направление движения (рис.14.1).

Рис.14.1

2.Работа от вращательного момента:

, (14.5)

Если направление вращательного момента совпадает с движением тела, то такая работа считается положительной.

Определение угла поворота:

, (14.6)

где S – длинна участка пути Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы за рассматриваемый период времени, R – радиус тела , - угол поворота.

Разглядим личный случай, когда работа равна нулю:

1. А(F) = 0, если (S – перемещение)

Рис. 14.2

2. А(F) = 0, если точка приложения силы - недвижная.

Рис. 14.3

Определим мощность:

1. От силы F:

N(F)= FV, (14.7)

где V – скорость точки приложения силы.

2. От вращательного момента M Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы:

N(M)= M (14.8)

где - угловая скорость тела.

Пример 14.1

Ступенчатый шкив 1, имеющий массу и радиус инерции относительно оси вращения , обмотан гибкими нерастяжимыми нитями. К нити, сходящей со ступени радиуса прикреплен груз 2 массы . К нити, сходящей со ступени радиуса , шарнирно прикреплен цилиндр 3 в точке , лежащей на его оси. Этот цилиндр также Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы обмотан нитью, конец которой закреплен в точке А. Участки и параллельны. Радиус цилиндра равен , а его масса - и умеренно распределена по его объему. Массы и радиусы удовлетворяют условию . Пренебрегая трением в шарнирах, найти угловую скорость ступенчатого шкива в функции угла его поворота, его угловое ускорение , натяжения нитей , , и реакцию оси . В Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы исходный момент система недвижна (рис.14.4).

Решение:

Кинетическая энергия ступенчатого вала, вращающегося вокруг недвижной оси:

.

Кинетическая энергия груза 2, совершающего поступательное движение:

.

Кинетическая энергия цилиндра, совершающего плоскопараллельное движение:

.

Рис.14.4

Моментальный центр скоростей сечения цилиндра плоскостью чертежа находится в точке В (потому что скорость участка нити АВ равна нулю).

Потому . Момент инерции Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы цилиндра . Подставив эти выражения в формулу для , получим:

.

Беря во внимание, что , совсем

.

Кинетическая энергия системы:

.

При повороте ступенчатого шкива на угол груз опускается на величину , а ось цилиндра подымается на . Сумма работ сил тяжести:

.

Другие силы, приложенные в данной системе, работы не совершают.

Потому что в исходный момент Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы система недвижна, то по аксиоме об изменении кинетической энергии:

.

Это равенство и определяет зависимость от .

Чтоб отыскать угловое ускорение шкива 1, дифференцируем левую и правую части этого равенства по времени:

.

Потому что , , то отсюда получаем:

.

Чтоб найти натяжение нити , напишем уравнение второго закона Ньютона для груза 2, к которому приложены силы Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы и (рис. 14.5):

,

где - ускорение груза.

Отсюда:

.

Для определения натяжения нити применим к ступенчатому шкиву дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг недвижной оси. К шкиву приложены силы , , , (рис. 14.6). Потому

.

Потому что , то отсюда

.

Для определения реакции применим к шкиву аксиому о движении центра тяжести:

.

Потому что , то

.

В конце концов, для Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы определения натяжения нити АВ применим аксиому о движении центра тяжести к цилиндру 3, на который действуют наружные силы , , (рис. 14.7):

.

Потому что , то отсюда:

Подставив сюда выражение , получим .

Пример 14.2

Дано: P, , Q, S- перемещение 1 тела;

Найти: скорость груза 1(Рис.14.8).

Рис.14.8

Решение:

1. Определим скорость груза, пользуясь аксиомой об изменении кинетической энергии в интегральной Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы форме:

,

( действие внутренних нагрузок не учитываем, т.к. простая работа действующих на точку внутренних сил равна нулю по свойству внутренних сил системы)

2. Определим кинетическую энергию всей механической системы.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему.

(тело1 совершает поступательное движение)

( тело 2 совершает вращательное движение)

Выразим через .

;

;

; ;

=

Выполним подстановку и Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы определим кинетическую энергию системы:

3. Определим работы наружных сил, действующих на механическую систему.

A (P) =P*S

4. Приравняем левую и правую части уравнений согласно :

= P*S

.

Пример 14.3

Найти ускорение центра катка 1, если его вес P, он имеет круглое сечение радиусом R. Вес барабана, приводящего механическую систему в движение Q, его радиус Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы r, вращательный момент M, угол наклона плоскости, на которой находится каток 1- α (рис.14.9).

Решение:

1. Применим аксиому об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальном виде:

2. Определим кинетическую энергию механической системы:

где - кинетическая энергия катка, совершающего плоскопараллельное движение;

- кинетическая энергия блока, совершающего вращательное движение.

,

Рис.14.9

Моменты инерции тел:

,

где = .

,

где .

Выразим Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы все кинетические характеристики через величину одноименной разыскиваемой величине :

, .

Потому что для катка 1 в точке касания его с недвижной плоскостью находится моментальный центр скоростей, то имеем соотношение меж скоростями:

= , т.е. .

Тогда:

.

Подставим все в уравнение и определим кинетическую энергию системы:

Найдем производную от последнего выражения:

= (3P+4Q) *

где = .

3. Определим мощность Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы от наружных нагрузок, действующих на механическую систему:

N(Q)=0, потому что точка приложения силы недвижная. ,

(отрицательная по знаку мощность, потому что составляющая силы обратна направлению движения, чем направление вектора скорости катка).

,

(мощность по знаку положительная, потому что направление вращательного момента, приложенного к блоку, совпадает с направлением вращения блока Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы).

.

Подставим все в начальное уравнение:

(3P+4Q) * ,

,

.

Пример 14.4

Условие: m1=8 кг, т2=0 кг, m3=5 кг, т4=0 кг, m5=6 кг, М=0,8 Н/м, =0,3 м, =0,1 м, =0,2 м, =0,2 м, =0,2 м. Отыскать , схема механической системы приведена на рис.14.10

Рис.14.10

Решение:

Составим расчётную схему с указанием всех сил дейст­вующих на механическую систему (рус. 14.10) По Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы аксиоме о изменении кинетической энергии системы:

.

В исходный момент времени Т0=0. Сумма внутренних сил

(по свойству внутренних сил).

Определим кинетическую энергию системы:

.

Выразим и через (точка С - моментальный центр скоростей):

=

;

.

Определим моменты инерции:

m3* ..

Найдём сумму работ всех действующих сил при

потому что точка приложения силы недвижна

Подставляем Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы приобретенные уравнения для кинетической энергии и суммы работ в формулу аксиомы об изменении кинетической энергии:

решая это уравнение относительно получим:

Ответ:

Пример 14.5

Механическая система (рис. 14.12) приводится в движение из состояния покоя под действием пары с моментом либо силы . Масса телеги с грузом либо 1-го груза 1 задана в таблице; масса 4 колес телеги Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы 2 ;масса барабана с колесом 3 ; масса колеса 4 ; массой подвижного блока 2 пренебречь. Внешний радиус задан в таблице; ; ; ; радиус инерции тела 3 . Колеса телеги 2 и колесо 4 считать сплошными цилиндрами, трос – невесомой, нерастяжимой нитью. Колеса телеги катятся по наклонной плоскости без проскальзывания. При движении на барабан 3 действует момент сил сопротивления .

Дано: , , , , , , , , , , ,

Найти: М , N для Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы .

Решение:

1. Определение M. Применим аксиому об изменении кинетической энергии неизменяемой системы в дифференциальной форме

Изобразим действующие на систему наружные данные силы , , и моменты M и Mc. Кинетическая энергия системы

где , ,

,

Выразим , , , через ; потому что точка К – моментальный центр скоростей колеса 2, то ;

Рис. 14.12

; потому что ; то отсюда

.

Моменты инерции тел 2,3,4 равны Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы , , .

Подставив все эти значения получим кинетическую энергию системы:

.

Сумма мощностей наружных сил и моментов:

,

где ,

,

.

Подставив в начальное уравнение и взяв производную , получим: .

Отсюда, подставив числовые значения данных величин, найден разыскиваемый момент:

2. Определение . Потому что движение системы равноускоренное, то при угловая скорость .

Как следует:

.


primenenie-posadok-s-zazorom.html
primenenie-prava-kak-osobaya-forma-realizacii-prava.html
primenenie-pravil-trejdinga.html