ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Высшая математика

Семестр

Лекция 4.

Дифференцирование функций

Определение производной

Производной функции именуется предел дела приращения функции к приращению независящей переменной при стремлении последнего к нулю:

Также производная обозначается как

Формально можно вычислять производные по определению, но мы для этой цели будем использовать правила вычисления производных и таблиц производных главных простых функций.

Геометрический смысл производной

Уравнение ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ касательной к графику функции в точке имеет вид:

Значение производной в точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Ровная имеющая две общие точки с кривой именуется секущей. При сближении точек секущая стремится к собственному предельному положению: это предельное положение и есть касательная в точке.

Механический ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ смысл производной:

- зависимость пути от времени

- 1-ая производная пути по времени – это скорость

-вторая производная пути по времени либо 1-ая производная скорости по времени – это ускорение

Экономический смысл производной см. в приложении к лекции

Главные правила вычисления производных.

Таблица производных главных функций



Задачки на главные правила вычисления производных

v Пример 1.

Отыскать производную функции

Использовали правило вычисления производной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ суммы:

(Распространяется на хоть какое количество слагаемых) Распространяется на хоть какое количество слагаемых

Использовали правило -постоянный множитель выносится за символ производной

Использовали табличные производные для функций:

v Пример 2.

Отыскать производную функции

Использовали правило вычисления производной произведения:

Использовали табличные производные для функций:

v Пример 3.

Отыскать производную функции

Использовали правило вычисления производной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ личного:

Использовали также правило производной суммы, свойство -производная неизменной равна 0.

Использовали табличные производные для функций:

Правило вычисления производной сложной функции

Пусть переменная y есть функция переменной u ( ), а переменная uв свою очередь есть функция от независящей переменной x, т.е. задана непростая функция

Аксиома

Если и -дифференцируемые функции от собственных аргументов, то производная сложной функции существует и ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ равна производной данной функции по промежному аргументу и умноженной на производную самого промежного аргумента по независящей переменной x, т.е.

Аналогично , если и и , другими словами

v Пример 4

(наружняя функция , внутренняя функция

Использовали табличные производные , и правило вычисления производной сложной функции

Можно рассуждать по-другому и ввести последующие обозначения:

- обозначим ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ внутреннюю функцию

Тогда

v Пример 5

тройная вложенность (в ln вложен cos, a в cos вложен )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Можно рассуждать по-другому и ввести последующие обозначения:

- обозначим внутреннюю функцию

Тогда

Для вычисления обозначим - внутреннюю функцию

Тогда

Подставляем:

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ


primenenie-diskretnogo-programmirovaniya-dlya-resheniya-optimizacionnih-zadach-avtomatizirovannih-sistem-upravleniya-tehnologiej-proizvodstva.html
primenenie-effektov-oformleniya.html
primenenie-efirnih-masel-pri-zabolevaniyah-pecheni.html