Применение подобия к решению задач - статья

Бычек В.И., доцент кафедры геометрии ХГПУ

Обучение решению задач является одним из главных частей математического образования. Вкупе с тем – это более тяжелый вид деятельности и для учеников, и для учителей. В статье рассматривается действенный способ решения геометрических задач – способ подобия. Освоение этого способа очень полезно для учителя арифметики.

Разглядим применение подобия Применение подобия к решению задач - статья плоскости, а именно гомотетии, при решении задач простой геометрии.

Преобразование плоскости именуется подобием, если существует такое число k>0, что для всех точек А и В и их образов А1 и В1 производится равенство А1В1=kАВ. Число k именуется коэффициентом подобия.

Преобразование плоскости именуется гомотетией с центром Применение подобия к решению задач - статья М0 и коэффициентом k¹о, если каждой точке М плоскости ставится в соответствие точка М1 так, что М0М1=kМ0М. При k>0 гомотетия именуется положительной, а при k<0 – отрицательной. Гомотетия с коэффициентом k является подобие с коэффициентом подобия |k|. Из определения гомотетии следует, что точка и ее образ в данной Применение подобия к решению задач - статья гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии.

При решении задач в большинстве случаев употребляется гомотетия. Отметим ее главные характеристики. Так всякая гомотетия с коэффициентом k¹1 переводит прямую , не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии – в себя. Гомотетия переводит Применение подобия к решению задач - статья отрезок в отрезок, середину отрезка – в середину отрезка, луч – в луч, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в равный ему угол, перпендикулярные прямые – в перпендикулярные прямые.

Задачка 1.

Обосновать, что ровная, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку скрещения ее диагоналей и точку скрещения прямых, соединяющих боковые стороны.

Решение. Пусть Применение подобия к решению задач - статья дана трапеция АВСД, у которой АВ//СД, АВ>СД, О=АСÇВД, Р=АДÇСВ; М, Н – середины оснований АВ и СД (рис. 1.). Нужно обосновать, что точки О и Р лежат на прямой МН. Разглядим поначалу гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k1=-ДС:АВ. Н0k1:А®С, В Применение подобия к решению задач - статья®Д. Означает Н0k1:АВ®СД. Тогда Н0k1:М®Н. Как следует, точка О принадлежит прямой МН. Потом разглядим гомотетию с центром в точке Р и коэффициентом k2=ДС:АВ. Нpk2:А®Д, В®С. Означает Нpk2:АВ®СД. Тогда Нpk2:М®Н. Как следует, точка Р принадлежит прямой Применение подобия к решению задач - статья МН.

Задачка 2. Обосновать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и его длина равна полуразности длин оснований.

Решение. Пусть дана трапеция АВСД, у которой АД//СВ, АД>СВ; М, Н – середины диагоналей АС и ВД (рис. 2). Проведем прямую СН до скрещения с АД в точке Н1. Тогда тр Применение подобия к решению задач - статья-к ВСН = тр-ку ДН1Н потому что ВН=НД, ÐСНВ=ÐН1НД, ÐСВН=ÐН1ДН. Отсюда следует, что СН=НН1, Н1Д=ВС. Разглядим гомотетию с центром в точке С и коэффициентом k=2. Нс2:М®А, Н®Н1. Означает Нс2:МН®АН1. Как следует, МН//АН1. Тогда МН Применение подобия к решению задач - статья//АД//ВС и МН=1/2АН1=1/2(АД-Н1Д)=1/2(АД-ВС).

Задачка 3. Обосновать, что в треугольнике точка скрещения медиан, центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр лежат на одной прямой.

Решение. Пусть дан треугольник АВС, у которого М – точка скрещения медиан, Р – центр окружности, описанной около треугольника, Н Применение подобия к решению задач - статья – ортоцентр, т.е. Н – точка скрещения высот треугольника (рис. 3). Нужно обосновать, что точка М принадлежит прямой НР. Разглядим Гомотетию с центром в точке М и коэффициентом k=-1/2. Потому что точка М разделяет медианы в отношении 1:2, считая от верхушки, а Р – точка скрещения серединных перпендикуляров, то Нм-1/2:В®В1, а А Применение подобия к решению задач - статья®А1, ВН®В1Р, АН®А1Р. Означает Нм-1/2:Н®Р. Как следует, точка М принадлежит прямой НР.

Задачка 4. Через середину каждой из сторон треугольника проведена ровная, параллельная биссектрисе противолежащего угла. Обосновать, что эти прямые проходят через одну точку.

Решение. Пусть дан треугольник АВС (рис. 4), у которого А1, В1, С1 – середины Применение подобия к решению задач - статья сторон ВС, АС, АВ; АА2, ВВ2, СС2 – биссектрисы, а А1А3//АА2, В1В3//ВВ2, С1С3//СС2. Нужно обосновать, что прямые А1А3, В1В3, С1С3 проходят через одну точку. Обозначим через М точку скрещения медиан треугольника АВС и разглядим гомотетию с центром в точке М Применение подобия к решению задач - статья и коэффициентом k=-1/2. Нм-1/2:А®А1, В®В1, С®С1. Означает Нм-1/2: тр-к АВС®тр-к А1В1С1. Тогда Нм-1/2:АА2®А1А3, ВВ2®В1В3, СС2®С1С3. Как следует, прямые А1А3, В1В3, С1С3 проходят через одну точку, потому что биссектрисы АА2, ВВ2, СС Применение подобия к решению задач - статья2 треугольника АВС проходят через одну точку.

Задачка 5. В сектор вписаны две окружности g1(О1, r1) и g2(О2, r2). Одна из их g1 касается дуги и основания сектора соответственно в точках А и В, другая g2 – точках С и Д (рис. 5). Обосновать, что положение точки скрещения прямых АВ Применение подобия к решению задач - статья и СД не находится в зависимости от выбора окружностей g1, g2, вписанных в сектор.

Решение. Пусть дана окружность g(О, r) и дан сектор с основанием ЕН. Разглядим поначалу гомотетию с центром в точке А и коэффициентом k1=r/r1. НАk1:О1®О, g1®g, ЕН®L Применение подобия к решению задач - статья1. По свойству гомотетии ровная L1 должна быть параллельна прямой ЕН и лежать в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О. Потому что ЕН касается окружности g1 в точке В, то ровная L1 должна касаться окружности g в точке К, где К=НАk1(В) и К принадлежит прямой АВ. Потом Применение подобия к решению задач - статья разглядим гомотетию с центром в точке С и коэффициентом k2=r/r2. Нсk2:О2®О, g2®g, ЕН®L2. По свойству гомотетии ровная L2 должна быть параллельна прямой ЕН и лежать в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О. Потому что ЕН касается окружности g2 в точке Д, то Применение подобия к решению задач - статья ровная L2 должна касаться окружности g в точке Р, где Р=Нсk2(Д) и Р принадлежит прямой СД. Но в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О, можно выстроить только одну касательную к окружности g(О,r), параллельную прямой ЕН. Означает прямые L1 и L2 совпадают (L1ºL2º Применение подобия к решению задач - статья;L), также совпадают и точки К и Р (КºРºМ). Точка М получится как точка скрещения прямых АВ и СД и будет точкой касания прямой L и окружности g(О, r). Потому что положение точки М зависит только от положения прямой ЕН, от положение точки скрещения Применение подобия к решению задач - статья прямых АВ и СД не находится в зависимости от выбора окружностей g1, g2, вписанных в сектор.

Задачка 6. На плоскости даны случайный треугольник АВС и точка О. Через точку О проведены прямые ОР, ОЕ, ОН соответственно перпендикулярные к прямым АВ, ВС, АС (РÎАВ, ЕÎВС, НÎАС). Через середины Применение подобия к решению задач - статья отрезков ОР, ОЕ, ОН проведены прямые L1, L2, L3, соответственно прямым АВ, ВС, АС. Обосновать, что треугольник А2В2С2, где А2=L1ÇL3, В2=L1ÇL2, С2=L2ÇL3 равен треугольнику А1В1С1, где А1, В1, С1 – середины сторон ВС, АС, АВ треугольника АВС (рис. 6).

Решение. Пусть М – точка Применение подобия к решению задач - статья скрещения медиан треугольника АВС. Разглядим поначалу гомотетию с центром в точке М и коэффициентом k=-2Нм-2:А1®А, В1®В, С1®С. Означает Нм-2:DА1В1С1®DАВС. Потом разглядим гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k2=1/2. Н01/2:Р®Р1, Н®Н1, Е®Е1. Потому что с Применение подобия к решению задач - статья помощью гомотетии ровная перебегает в параллельную ей прямую, то Н01/2:АВ®L1, ВС®L2, АС®L3. Как следует, Н01/2:А®А2, В®В2, С®С2. Означает Н01/2:DАВС®DА2В2С2. Разглядим сейчас композицию гомотетий Н01/2× Нм-2 будет подобием с коэффициентом k1 и k2 есть подобие с Применение подобия к решению задач - статья коэффициентом k=|k1|×|k2|, то композиция гомотетий Н01/2×Нм-2 будет подобием с коэффициентом k=1/2×|-2|=1, т.е. будет движением. Но композиция Н01/2×Нм-2 переводит треугольник А1В1С1 в треугольник А2В2С2. Как следует, треугольник А1В1С1 равен треугольнику А2В2С2.

Перечень литературы

Атанасян Л.С., Базылев В Применение подобия к решению задач - статья.Т. Геометрия. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1986.

Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1973.

Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч. 1. – М. : Просвещение, 1974.

Вересова Е.Е., Денисова Н.С. Сборник задач по геометрическим преобразованиям. – М. : МГПИ им. В.И. Ленина, 1978.



primechaniya-marii-shtajner-k-pervomu-vipusku-1945-goda-14-glava.html
primechaniya-marii-shtajner-k-pervomu-vipusku-1945-goda-6-glava.html
primechaniya-milton-seligman-rozalin-bendzhamin-darling-obichnie-semi-osobie-deti-sistemnij-podhod-k-pomoshi-detyam.html